EVENTO
Representações Diferenciais Fracas para Funcionais de Lévy
Tipo de evento: Exame de Qualificação
O estudo de representações e métodos de discretização de processos estocásticos é um tema central em análise estocástica com desdobramentos nas aplicações em finanças e controle estocástico.Por exemplo, a clássica fórmula de Itô fornece uma representação de um processo X(t) =f(Y(t)), sendo f uma função suave atuando sobre um semimartingale Y (a dependência apenas na variável Y(t) caracteriza o caso clássico). Dupire (2009) e Cont e Fournié (2013) introduzem fórmulas do tipo de Itô para processos X que dependem de toda a trajetória do processo Y, ou seja, X(t) = f(Y_t) onde Y_t = {Y(s),0≤s≤t} e f é um funcional suave definido na união dos espaços das funções contínuas de [0,t] onde t varia em [0,T] com T fixo. Atualmente, esta teoria é chamada de Path Dependent Stochastic Calculus e a representação obtida é escrita em termos do que Dupire define como derivadas horizontais e verticais do funcional f. Ressaltamos que toda a teoria é feita pathwise. Este tipo de abordagem tem grande importância em problemas de controle ótimo estocástico e, recentemente, vários autores tem desenvolvido conceitos de solução de viscosidade para EDPs dependente de caminhos. Veja, por exemplo, Ekren et al (2014, 2015). Nos trabalhos de Leão e Ohashi (2013) e Leão, Ohashi e Simas (2014), as decomposições e esquemas de discretização são desenvolvidos para Funcionais de Wiener - processos adaptados à filtração Browniana, e uma generalização importante é o relaxamento da hipótese de diferenciabilidade vertical de f, que permeia os estudos de Dupire, Cont e Fournié e Ekren et al. Leão e Ohashi (2013) e Leão, Ohashi e Simas (2014) fornece uma teoria diferencial intrínseca ao processo X. Este desenvolvimento se diferencia do caso clássico pathwise pois não depende de uma formatação do tipo X(t)=f(Y_t ) com f suave. De fato, muitos processos adaptados não admitem representação em termos dos operadores diferenciais (vertical e horizontal) de f o que corrobora a necessidade de uma teoria mais fraca (i.e., mais geral).A proposta para a tese de doutorado é estender os resultados obtidos por Leão e Ohashi (2013) e Leão, Ohashi e Simas (2014) para o caso onde Y é um processo de Levy de atividade infinita. Ou seja, a filtração a ser trabalhada é gerada por um processo de Lévy. Essa extensão será fundamental para o tratamento analítico e numérico de problemas de controle ótimo estocástico onde o controle em t∈ [0,T] é dependente da trajetória de Y até t, isto é, de Y_t= {Y(s),0≤s≤t} e não apenas de Y(t).O ponto de partida será o estudo sistemático de material básico encontrado no livro Jacod e Shiryaev (1989), He, Wang e Yan (1992) e Dellacherie e Meyer (1982) tais como: Decomposição de Doob-Meyer, projeção dual previsível, integrais opcionais (ou compensadas), tripla caraterística de semimartingales, decomposição de Lévy-Itô. Na sequência, serão analisados os artigos mais específicos relacionados à elaboração dos teoremas a serem desenvolvidos ao longo do trabalho de tese tais como: Cont e Fournie (2010) e Szimayer e Maller (2007), dentre outros a serem definidos ao longo do projeto. BIBLIOGRAFIA: Cont, R. Fournié, D. (2013). Functional Ito calculus and stochastic integral representation of martingales. Annals of Probability, 41, 1, 109-133.Cont, R. Fournié, D. (2010). Change of variable formulas for non-anticipative functional on path space. Journal of Functional Analysis, 259, 10431072.Dellacherie, C. Meyer, P.A. (1982). Probability and Potential B: Theory of Martingales, North-Holland, Amsterdam.Dupire, B. (2009). Functional Itô Calculus. Portfolio Research Paper, 4, Bloomberg, 2009. Ekren, I. Keller, C. Touzi, N. Zhang, J. (2014). On Viscosity Solutions of Path Dependent PDEs, Annals of Probability, 42, 1, 204-236. Ekren, I. Keller, C. Touzi, N. Zhang, J. (2015) Viscosity Solutions of Fully Nonlinear Parabolic Path Dependent PDEs: Part I. To appear in Annals of Probab. He, S-w. Wang, J-g. Yan, J-a (1992). Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, New York. Jacod, J. Shiryaev, A.N. (2003). Limit Theorems for Stochastic Processes. Second Edition, Springer. Leão, D. Ohashi, A. (2013). Weak Approximations for Wiener Functionals. Annals of Applied Probabilty, 23, 4, 1660-1691. Leão, D. Ohashi, A. e Simas (2014). Weak Functional Itô Calculus and Applications. Preprint arXiv:1408.1423v2. Submitted to Annals of Probability. Szimayer, A. and Maller, R. (2007). Finite approximation schemes for Lévy processes, and their application to optimal stopping problems. Stochastic Processes and their Applications, 117, 14221447
Data Início: 30/04/2015 Hora: 10:30 Data Fim: 30/04/2015 Hora: 13:30
Local: LNCC - Laboratório Nacional de Computação Ciêntifica - Auditorio A
Aluno: Estevão Rosalino Junior - Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro - UFRRJ
Orientador: Jack Baczynski - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC
Participante Banca Examinadora: Artur Ziviani - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC Marcos Garcia Todorov - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC Renato Portugal - Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC
